Rumus Segitiga Sembarang dengan Sistem Koordinat Kartesius

Sebelum kita menggunakan determinan matriks untuk menentukan luas segitiga, perhatikan permasalahan berikut. Diketahui suatu segitiga ABC dengan A(1, 3), B(6, 5), C(3, 2).

Luas segitiga ABC dapat kita tentukan dengan mengurangkan luas persegi panjang PBQR dengan luas segitiga-segitiga I, II, dan III. Sehingga kita mendapatkan,

Jadi, secara mudah kita mendapatkan luas dari segitiga tersebut adalah 4 ½ persegi satuan. Selanjutnya kita perumum permasalahan di atas. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3) seperti pada gambar berikut.

Seperti pada permasalahan sebelumnya, untuk menentukan luas segitiga ABC, kita tentukan terlebih dahulu luas dari segitiga I, II, dan III.

Sehingga, jumlah dari luas segitiga I, II, dan III adalah

Selanjutnya, luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan mengurangi persegi panjang (garis putus-putus) dengan jumlah dari luas segitiga I, II, dan III.

Apabila kita cermati, hasil yang kita peroleh tersebut merupakan setengah dari determinan matriks berikut.

Karena penukaran dua baris dari suatu matriks akan mengakibatkan nilai determinan matriks tersebut berubah tanda, maka kita gunakan nilai mutlak untuk rumus luas segitiga berikut.

---

Luas Segitiga pada Bidang Koordinat

Diberikan suatu segitiga dengan titik-titik sudutnya (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3), maka luas, L, dari segitiga tersebut adalah

dengan,

---

Perhatikan bahwa matriks T memiliki elemen-elemen x pada kolom pertama, y pada kolom kedua dan konstanta 1 pada kolom ketiga. Selain itu, koordinat (x, y) dari suatu titik sudut haruslah dalam satu baris. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Menentukan Luas Segitiga dengan Determinan

Tentukan luas dari segitiga yang titik-titik sudutnya (3, 1), (–2, 3), dan (1, 7).

Pembahasan Pertama kita buat matriks T kemudian kita tentukan determinan dari matriks tersebut.

Selanjutnya, kita hitung luasnya

Jadi, luas dari segitiga tersebut adalah 13 persegi satuan.

Selanjutnya, mungkin kita bertanya-tanya. Bagaimana jika tiga titik yang diberikan kolinear (segaris)? Apabila ketiga titiknya segaris, maka tidak ada segitiga yang terbentuk. Artinya, luasnya sama dengan nol. Hal ini dapat digunakan untuk menguji kekolinearan dari tiga titik.

---

Uji Titik-titik Kolinear

Tiga titik (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) kolinear jika

---

Contoh 2: Uji Kekolinearan dengan Determinan

Tentukan apakah tiga titik yang diberikan berikut kolinear atau tidak.

1. (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11)
2. (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9)

Pembahasan

1. Untuk mengetahui titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) kolinear atau tidak, pertama kita tentukan determinan matriks yang bersesuaian.
   
   Sehingga, titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) terletak pada garis lurus. Untuk memastikan letak ketiga titik tersebut, perhatikan gambar berikut.
   
2. Dengan cara yang sama, kita tentukan apakah titik-titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) kolinear atau tidak.
   
   Jadi, ketiga titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) tidak kolinear. Perhatikan gambar berikut.
   

Read More

Phytagoras Istimewa

Pengertian Triple Phytagoras

Triple phytagoras adalah adalah 3 (tiga) bilangan asli yang memenuhi Rumus teorema pythagoras yaitu c2 = a2 + b2 

Macam-macam Tipe Triple Phytagoras

Triple pythagoras ini masih mempunyai 4 bilangan yang susunan bilangannya teratur dan membentuk pola tertentu atau sering disebut sebagai 4 tipe triple pythagoras. Susunan bilangan triple pythagoras dapat dilihat pada tabel berikut ini!

158 daftar bilangan triple pythagoras pembentuk segitiga siku-siku

Adapaun daftar bilangan triple pythagoras yang membentuk segitiga siku-siku berdasarkan rumus teorema pythagoras adalah sebagai berikut:

0. (a, b, c)

1. (3,4,5)

2. (5,12,13)

3. (7,24,25)

4. (8,15,17)

5. (9,40,41)

6. (11,60,61)

7. (12,35,37)

8. (13,84,85)

9. (15,112,113)

10. (16,63,65)
11. (17,144,145)
12. (19,180,181)
13. (20,21,29)
14. (20,99,101)
15. (21,220,221)
16. (23,264,265)
17. (24,143,145)
18. (25,312,313)
19. (27,364,365)
20. (28,45,53)
21. (28,195,197)
22. (29,420,421)
23. (31,480,481)
24. (32,255,257)
25. (33,56,65)
26. (33,544,545)
27. (35,612,613)
28. (36,77,85)
29. (36,323,325)
30. (37,684,685)
31. (39,80,89)
32. (39,760,761)
33. (40,399,401)
34. (41,840,841)
35. (43,924,925)
36. (44,117,125)
37. (44,483,485)
38. (48,55,73)
39. (48,575,577)
40. (51,140,149)
41. (52,165,173)
42. (52,675,677)
43. (56,783,785)
44. (57,176,185)
45. (60,91,109)
46. (60,221,229)
47. (60,899,901)
48. (65,72,97)
49. (68,285,293)
50. (69,260,269)
51. (75,308,317)
52. (76,357,365)
53. (84,187,205)
54. (84,437,445)
55. (85,132,157)
56. (87,416,425)
57. (88,105,137)
58. (92,525,533)
59. (93,476,485)
60. (95,168,193)
61. (96,247,265)
62. (100,621,629)
63. (104,153,185)
64. (105,208,233)
65. (105,608,617)
66. (108,725,733)
67. (111,680,689)
68. (115,252,277)
69. (116,837,845)
70. (119,120,169)
71. (120,209,241)
72. (120,391,409)
73. (123,836,845)
74. (124,957,965)
75. (129,920,929)
76. (132,475,493)
77. (133,156,205)
78. (135,352,377)
79. (136,273,305)
80. (140,171,221)
81. (145,408,433)
82. (152,345,377)
83. (155,468,493)
84. (156,667,685)
85. (160,231,281)
86. (161,240,289)
87. (165,532,557)
88. (168,425,457)
89. (168,775,793)
90. (175,288,337)
91. (180,299,349)
92. (184,513,545)
93. (185,672,697)
94. (189,340,389)
95. (195,748,773)
96. (200,609,641)
97. (203,396,445)
98. (204,253,325)
99. (205,828,853)
100. (207,224,305)
101. (215,912,937)
102. (216,713,745)
103. (217,456,505)
104. (220,459,509)
105. (225,272,353)
106. (228,325,397)
107. (231,520,569)
108. (232,825,857)
109. (240,551,601)
110. (248,945,977)
111. (252,275,373)
112. (259,660,709)
113. (260,651,701)
114. (261,380,461)
115. (273,736,785)
116. (276,493,565)
117. (279,440,521)
118. (280,351,449)
119. (280,759,809)
120. (287,816,865)
121. (297,304,425)
122. (300,589,661)
123. (301,900,949)
124. (308,435,533)
125. (315,572,653)
126. (319,360,481)
127. (333,644,725)
128. (336,377,505)
129. (336,527,625)
130. (341,420,541)
131. (348,805,877)
132. (364,627,725)
133. (368,465,593)
134. (369,800,881)
135. (372,925,997)
136. (385,552,673)
137. (387,884,965)
138. (396,403,565)
139. (400,561,689)
140. (407,624,745)
141. (420,851,949)
142. (429,460,629)
143. (429,700,821)
144. (432,665,793)
145. (451,780,901)
146. (455,528,697)
147. (464,777,905)
148. (468,595,757)
149. (473,864,985)
150. (481,600,769)
151. (504,703,865)
152. (533,756,925)
153. (540,629,829)
154. (555,572,797)
155. (580,741,941)
156. (615,728,953)
157. (616,663,905)
158. (696,697,985)

Demikian pembahasan tentang bilangan-bilangan triple pythagoras yang membentuk segitiga siku-siku menurut teknopenmatematika.blogspot.com

Read More

Pembuktian Rumus Phytagoras

            Untuk membuktikan rumus pythagoras / teorema pythagoras diatas, sebenarnya terdapat banyak cara. Pada kesempatan kali ini akan kita gunakan cara sederhana untuk membuktikannya. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku, cobalah disusun sehingga membentuk sebuah persegi seperti gambar dibawah ini.

Luas Persegi Besar = Luas Persegi

Luas Persegi Besar = luas persegi putih Kecil + Luas 4 Segitiga
(a+b)² = c² + 1/2ab+1/2 ab+1/2 ab +1/2 ab

                             (a+b)²  = 2 ab
            a² + 2ab + b²  = c² + 2ab

                                a²+ b²  = c²

        Pembuktian teorema pythagoras yang lain dapat sobat lakukan langsung dirumah, jika rumah sobat menggunakan lantai ubin atau keramik. Cobalah buat segitiga dengan alas 4 keramik dan tinggi 3 keramik, seperti gambar dibawah ini.

        Jika sudah, silahkan teman-teman hitung panjang sisi miring yaitu garis yang diberi tanda warna merah. Jika teman-teman semua benar dalam menghitungnya akan diperoleh hasil panjang sisi miring yaitu 5 kali panjang ubin/ keramik.

         Dalam kehidupan nyata rumus pythagoras banyak pemanfaatannya, salah satu contohnya yaitu pada bidang arsitektur. Seorang arsitek akan menggunakan rumus pythagoras dalam menentukan kemiringan suatu bangunan misalnya saja kemiringan sebuah tanggul agar tanggul tersebut dapat menahan tekanan air. Contoh lainnya yaitu seorang tukang kayu, ketika dia membuat segitiga penguat pilar dia menggunakan rumus pythagoras.

Perhatikan contoh soal dibawah ini :

1.  Jika diketahui BC = 8cm, AC = 6cm. Berapakah panjang sisi AB pada gambar di bawah ini ?

Jawab:

AB² = AC² + BC²
= 6² + 8²
= 36 + 64
= 100AB
= √100
= 10
Jadi panjang sisi AB adalah 10cm.

2. Berapakah panjang sisi a pada gambar di bawah ini ?

Jawab:
Karena yang ditanyakan adalah panjang sisi a , maka berlaku rumus:
a² = c² – b²
= 17² – 8²
= 289 – 64 = 225
a = √225 = 15 cm

Pembutiannya juga dapat dilihat dalam tayangan video berikut ini...

Sumber: https://kimiamath.wordpress.com/2015/07/24/pembuktian-teorema-pythagoras/

Read More